北京市西城区2011年高三二模试卷数学(文科)+参考答案

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北京市西城区2011年高三二模试卷数学（文科）2011.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{0,1}A,{1,0,3}Ba，且AB，则a等于（A）1（B）0（C）2（D）32.已知i是虚数单位，则复数2z12i+3i所对应的点落在（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3.已知ab，则下列不等式正确的是（A）11ab（B）22ab（C）22ab（D）22ab4.在ABC中，“0ABBC”是“ABC为直角三角形”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件5．一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于（A）2（B）1（C）16（D）236.函数sin()yxxR的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则tanOPB（A）10（B）8（C）87（D）47xBPyO1正(主)视图俯视图222侧(左)视图217．若2a，则函数3()33fxxax在区间(0,2)上零点的个数为（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个8．已知点(1,0),(1,0)AB及抛物线22yx，若抛物线上点P满足PAmPB，则m的最大值为（A）3（B）2（C）3（D）2第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.已知}{na为等差数列，341aa，则其前6项之和为_____.10．已知向量(1,3)a，(0,3)ab，设a与b的夹角为，则_____.11.在ABC中，若2BA，:1:3ab，则A_____.12．平面上满足约束条件2,0,60xxyxy的点(,)xy形成的区域为D，则区域D的面积为________；设区域D关于直线21yx对称的区域为E，则区域D和区域E中距离最近的两点的距离为________.13.定义某种运算，ab的运算原理如右图所示.则0(1)______；设()(0)(2)fxxxx.则(1)f______.14.数列{}na满足11a，11nnnaan，其中R，12n，，．给出下列命题：①R，对于任意i*N，0ia；②R，对于任意2()ii*N，10iiaa；③R，m*N，当im（i*N）时总有0ia.中正确的命题是______.（写出所有正确命题的序号）ab开始输入否结束SbSa输出是三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数12sin()43()sinxfxx.（Ⅰ）求函数()fx的定义域；（Ⅱ）若()2fx，求sin2x的值.16.（本小题满分13分）如图，菱形ABCD的边长为6，60BAD,ACBDO.将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥BACD,点M是棱BC的中点，32DM.（Ⅰ）求证：//OM平面ABD；（Ⅱ）求证：平面ABC平面MDO；（Ⅲ）求三棱锥MABD的体积.17.（本小题满分13分）由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：支持保留不支持20岁以下80045020020岁以上（含20岁）100150300（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求n的值；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率；（Ⅲ）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出的分数如下:9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8个人打出的分数看作一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.ABABCCDMODO18.（本小题满分14分）设函数()exfx，中e为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数()()egxfxx的单调区间；（Ⅱ）记曲线()yfx在点00(,())Pxfx（中00x）处的切线为l，l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S，求S的最大值.19.（本小题满分14分）已知椭圆22221xyab（0ab）的焦距为23，离心率为32.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设过椭圆顶点(0,)Bb，斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且,,BDBEDE成等比数列，求2k的值.20.（本小题满分13分）若函数)(xf对任意的xR，均有)(2)1()1(xfxfxf，则称函数)(xf具有性质P.（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由.①(1)xyaa；②3yx.（Ⅱ）若函数)(xf具有性质P，且(0)()0ffn（2,nn*N），求证：对任意{1,2,3,,1}in有()0fi；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意[0,]xn均有0)(xf.若成立给出证明，若不成立给出反例.北京市西城区2011年高三二模试卷参考答案及评分标准数学（文科）2011.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案CBCADBBC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.310.12011.3012.1；2513.1；114.①③注：12、13题第一问2分，第二问3分.14题只选出一个正确的命题给2分，选出错误的命题即得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分）解：解：（Ⅰ）由题意，sin0x，……………2分所以，()xkkZ.……………3分函数()fx的定义域为{,}xxkkZ.……………4分（Ⅱ）因为()2fx，所以12sin()2sin43xx，……………5分2212(sincos)2sin223xxx，……………7分1cossin3xx，……………9分将上式平方，得11sin29x，……………12分所以8sin29x.……………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点.又点M是棱BC的中点，所以OM是ABC的中位线，//OMAB.……………2分因为OM平面ABD,AB平面ABD，所以//OM平面ABD.……………4分（Ⅱ）证明：由题意，3OMOD,因为32DM,所以90DOM，ODOM.……………6分又因为菱形ABCD，所以ODAC.…………7分因为OMACO,所以OD平面ABC，……………8分因为OD平面MDO，所以平面ABC平面MDO.……………9分（Ⅲ）解：三棱锥MABD的体积等于三棱锥DABM的体积.……………10分由（Ⅱ）知，OD平面ABC，所以3OD为三棱锥DABM的高.……………11分ABM的面积为11393sin120632222BABM，……………12分所求体积等于19332ABMSOD.……………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得80010080045020010015030045n，……………2分所以100n.……………3分（Ⅱ）设所选取的人中，有m人20岁以下，则2002003005m，解得2m.………5分也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A1，A2；B1，B2，B3，则从中任取2人的所有基本事件为(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A2,B1)，(A2,B2)，ABCMOD(A2,B3)，(A1,A2)，(B1,B2)，(B2,B3)，(B1,B3)共10个.………7分其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A1,A2)，…………8分所以从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为710.……………9分（Ⅲ）总体的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x，………10分那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数只有8.2，……………12分所以该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为81.……………13分18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知()eexgxx，所以()eexgx，……………2分由()ee0xgx，得1x，……………3分所以，在区间(,1)上，()0gx，函数()gx在区间(,1)上单调递减；……………4分在区间(1,)上，()0gx，函数()gx在区间(1,)上单调递增；……………5分即函数()gx的单调递减区间为(,1)，单调递增区间为(1,).（Ⅱ）因为()exfx，所以曲线()yfx在点P处切线为l：000ee()xxyxx.……………7分切线l与x轴的交点为0(1,0)x，与y轴的交点为000(0,ee)xxx，……………9分因为00x，所以002000011(1)(1)e(12)e22xxSxxxx，……………10分0201e(1)2xSx，……………12分在区间(,1)上，函数0()Sx单调递增，在区间(1,0)上，函数0()Sx单调递减.……………13分所以，当01x时，S有最大值，此时2eS，所以，S的最大值为2e.……………14分19、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知223c，32ca.……………2分解得2,3ac，……………4分所以2221bac，椭圆的方程为2214xy.……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得过B点的直线为1ykx，由221,41,xyykx得22(41)80kxkx，……………6分所以2814Dkxk，所以221414Dkyk，……………8分依题意0k，12k.因为,,BDBEDE成等比数列，所以2BEBDDE，……………9分所以2(1)DDbyy，即(1)1DDyy，……………10分当0Dy时，210DDyy，无解，……………11分当0Dy时，210DDyy，解得152Dy，……………12分所以221415142kk，解得2254k，所以，当,,BDBEDE成等比数列时，2254k.……………14xyODBE分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：①函数)1()(aaxfx具有性质P.……………1分111(1)(1)2()2(2)xxxxfxfxfxaaaaaa，因为1a，1(2)0xaaa，……………3分即)(2)1()1(xfxfxf，此函数为具有性质P.②函数3)(xxf不具有性质P.……………4分例如，当1x时，(1)(1)(2)(0)8fxfxff，2()2fx，……………5分所以，)1()0()2(fff，此函数不具有性质P.（Ⅱ）假设)(if为(1),(2),,(1)fffn中第一个大于0的值，……………6分则0)1()(ifif，因为函数()fx具有性质P，所以，对于任意n*N，均有(1)()()(1)fnfnfnfn，所以0)1()()2()1()1()(ififnfnfnfnf，所以()[()(1)][(1)()]()0fnfnfnfififi，与0)(nf矛盾，所以，对任意的{1,2,3,,1}in有()0fi.……………9分（Ⅲ）不成立.例如2()()xxnxfxxx为有理数，为无理数.……………10分证明：当x为有理数时，1,1xx均为有理数，222(1)(1)2()(1)(1)2(112)2fxfxfxxxxnxxx，当x为无理数时，1,1xx均为无理数，22)1()1()(2)1()1(222xxxxfxfxf所以，函数)(xf对任意的xR，均有)(2)1()1(xfxfxf，即函数)(xf具有性质P.……………12分而当],0[nx（2n）且当x为无理数时，0)(xf.所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意[0,]xn均有0)(xf”不成立.……………13分（其他反例仿此给分.如()()0()1xxfx为有理数为无理数，()()0()1xxfx为整数为非整数，2()()0()xxfxx为整数为非整数，等.）